Теория гомологий

Многие задачи можно решать так: построим вспомогательное топологическое пространство, и выполнение топологического свойства (например, наличие неподвижной точки некоторого отображения, или невозможность отображения с заданными свойствами) будет решать нашу исходную задачу.

Значит надо изучать топологические пространства и отображения между ними. Обычно используют геометрическое воображение, но для записи доказательств лучше иметь дискретные (алгебраические) инварианты. Так появились гомологии -- алгебраический объект, который можно посчитать по топологическому пространству, и который хорошо себя ведёт при отображениях (например, позволяет иногда доказывать, что есть неподвижные точки. Некоторую версию когомологий можно применять и к отображению Фробениуса x→x^p, чтобы считать точки на кривых над конечными полями).

Такие алгебраические инварианты вы уже видели: фундаментальная группа пространства (и её обобщения -- старшие гомотопические группы, отображения из n-мерной сферы в ваше пространство). Гомологии считать проще, чем гомотопические группы, достаточно знать клеточную (или симплициальную) структуру.

Или хотите вы найти структуру на вашем топологическом пространстве, голоморфную функцию продолжить (или из группы гомоморфизм построить), бывает, что вы можете её локально построить, но глобально есть препятствия -- это, оказывается, тоже гомологии (например, когомологии групп).

Относительно недавно оказалось, что анализ огромных данных (куча точек с попарными расстояниями) это тоже анализ некоторого топологического пространства (наборы точек с маленькими попарными расстояниями заклеим симплексами), и тут гомологии нужны (здесь их называют persistent homology) для нахождения ``дырок''.