Комбинаторика для продолжающих — курс А.М. Райгородского (МФТИ)

Маткульт-привет! 🎓

Базовая комбинаторика учит считать напрямую: разбивать задачу на случаи, выбирать и переставлять объекты, применять правила сложения и умножения, бином Ньютона и формулу включений–исключений.

Но что делать, если нужное количество спрятано внутри других подсчётов? Если объекты повторяются с некоторым периодом? Если каждый следующий результат зависит от предыдущих, а явной формулы нет?

Здесь начинается комбинаторика для продолжающих.

На этом курсе мы выйдем за пределы привычных формул для перестановок и сочетаний и освоим три больших математических хода:

• научимся восстанавливать точные количества с помощью функции и формулы обращения Мёбиуса;

• будем описывать структуры через частичные порядки, разбиения чисел и диаграммы Юнга;

• превратим рекуррентные последовательности в алгебраические объекты с помощью формальных рядов и производящих функций.

По пути разберём периодические и циклические последовательности, линейные рекуррентные соотношения, числа Фибоначчи и Каталана.

Как устроен маршрут

Курс начинается с входной разминки по базовой комбинаторике. Это не вступительный экзамен: она поможет проверить фундамент и заметить темы, которые стоит освежить.

Дальше сложность растёт постепенно:

1. арифметический фундамент и функция Мёбиуса;

2. периодические последовательности и частичные порядки;

3. разбиения чисел и диаграммы Юнга;

4. рекуррентные соотношения;

5. формальные степенные ряды и производящие функции;

6. числа Фибоначчи, Каталана и итоговые задачи.

Курс заметно сложнее вводной комбинаторики. Здесь больше абстракций, доказательств и многошаговых рассуждений. Формулы придётся не только применять, но и понимать: откуда они берутся и почему работают.

При этом начинать можно без предварительного знакомства с теорией чисел, функцией Мёбиуса или производящими функциями — необходимые понятия вводятся по ходу курса.

Если вы проходили «Комбинаторику для начинающих», необходимый фундамент у вас уже есть. Если изучали базовую комбинаторику в другом месте, тоже можно начинать: входная разминка покажет, готовы ли вы двигаться дальше.

Об авторе

👨‍🏫 Курс ведёт Андрей Михайлович Райгородский — директор Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ, математик и популяризатор науки, лауреат премии Президента России для молодых учёных.

В его лекциях важна не только готовая формула, но и путь к ней: от конкретной задачи и первых наблюдений — к общей конструкции и доказательству.

Вводный курс Андрея Михайловича по комбинаторике был номинирован на Stepik Awards 2024, а «Экстремальная комбинаторика» получила Stepik Awards 2025.

Если нужно укрепить фундамент

• Математика с полного нуля — дроби, проценты и уравнения;

• Школьная математика до уровня МФТИ — от алгебры до тригонометрии;

• Введение в высшую математику — математический анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия;

• Комбинаторика для начинающих — рекомендуемая непосредственная подготовка к этому курсу.

Другие курсы Андрея Райгородского и Алексея Савватеева собраны в профиле Клуба любителей математики.

Чтобы не потеряться

• Telegram — анонсы, разборы и опыт учеников;

• YouTube — лекции и стримы с авторами;

• ВКонтакте — записи лекций и новости;

• Хармфульский клуб — для тех, кто хочет ботать математику в общем ритме, с разборами и поддержкой.

Готовы увидеть, что ещё умеет комбинаторика?

Sapere Aude! ✨